Le Modèle de l'Atome d'Hydrogène de Bohr
Supplément Mathématique

L'électron, chargé négativement, est soumis à l'attraction électrostatique de Coulomb de la part du noyau chargé positivement, il prend un mouvement circulaire. Cette force électrostatique est ici centripète.

m v2 / r   =   e2 / (4 p e0 r2) 

m ... Masse des électrons
v ... Vitesse des électrons
r ... Rayon de l'orbite
e ... Charge élémentaire
e0 ... Permittivité du vide

Cependant il n'y a que certaines trajectoires circulaires possibles, celles pour lesquelles le moment cinétique est un multiple entier de h/(2p).

Condition quantique de Bohr:

r m v   =   n h / (2p) 

r ... Rayon de l'orbite
m ... Masse des électrons
v ... Vitesse des électrons
n ... Nombre quantique principal (n = 1, 2, 3, ...)
h ... Constante de Planck

La condition quantique de Bohr semble plausible, si l'on part de la représentation d'une onde de matière (onde de De-Broglie). La longueur d'onde correspondant à un électron ayant une vitesse v est donnée par l   =   h / (m v). Pour qu'une telle onde puisse exister, le rayon de la trajectoire de l'électron doit être un multiple entier de la longueur d'onde. On aura la relation: 2 r p   =   n h / (m v), d'où on en déduit la condition quantique mentionnée ci dessus.

En tirant v de la seconde relation et en reportant sa valeur dans la première, on obtient le résultat suivant pour les rayons possibles:

Relation donnant les rayons possibles suivant n:

r   =   (h2 e0 / (m e2 p)) · n2 

h ... Constante de Planck
m ... Masse des électrons
e ... Charge élémentaire
n ... Nombre quantique principal (n = 1, 2, 3, ...)
e0 ... Permittivité du vide

En utilisant E   =   Epot + Ekin   =   - e2 / (4 p e0 r) + (m / 2) v2 on obtient:

Energie de l'atome d'hydrogène suivant n:

E   = - (m e4 / (8 e0 2 h2)) · 1 / n2 

m ... Masse des électrons
e ... Charge élémentaire
e0 ... Permittivité du vide
h ... Constante de Planck
n ... Nombre quantique principal (n = 1, 2, 3, ...)

Si l'on veut des résultats rigoureux, il faut encore faire une correction. La masse du noyau est certes bien plus grande que celle de l'électron. L'électron et le noyau gravitent autour de leur centre de gravité commun qui ne se trouve pas exactement au centre de l'atome. Pour prendre cela en compte, il faut remplace dans la formule précédente, la masse de l'électron m par la masse réduite m':

Masse réduite:

m' = mK m / (mK + m) 

m ... Masse des électrons
mK ... Masse du noyau

URL: http://home.a-city.de/walter.fendt/physfra/bohrmathfra.htm
© Walter Fendt, 29 Mai 1999
© Traduction: Yves Weiss, 30 Juin 1999

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